Bienvenue dans ce nouveau guide ! 📘 Aujourd’hui, nous nous intéressons aux primitives, une notion essentielle pour comprendre le calcul intégral.
Qu’est-ce qu’une primitive ?
Par définition, soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\), toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que \(F' = f\).
En résumé : Chercher une primitive, c’est faire l’inverse de la dérivation.
L’ensemble des primitives et la constante \(C\)
Si une fonction admet une primitive \(F\), alors elle en possède une infinité de la forme \(G(x) = F(x) + C\), où \(C \in \mathbb{R}\).
Exemple d’application (Condition initiale) :
Soit \(f(x) = 2x + 3\). On cherche la primitive \(F\) telle que \(F(1) = 5\).
Les primitives sont de la forme \(F(x) = x^2 + 3x + C\).
On impose la condition \(F(1) = 5\) : \[1^2 + 3(1) + C = 5 \implies 4 + C = 5 \implies C = 1\]
La primitive unique est donc \(F(x) = x^2 + 3x + 1\).
Les propriétés fondamentales
Pour calculer des primitives de fonctions plus complexes, on utilise la linéarité :
- Somme : Une primitive de \(u + v\) est \(U + V\).
- Multiplication par un réel : Une primitive de \(k \cdot u\) est \(k \cdot U\).
Exemple :
Soit \(f(x) = 3x^2 + 5e^x\).
Une primitive de \(x^2\) étant \(\frac{x^3}{3}\), celle de \(3x^2\) est \(3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3\).
On obtient : \(F(x) = x^3 + 5e^x + C\).
Tableau des primitives usuelles 📝
Voici les formules fondamentales à connaître par cœur :
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Conditions |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n \in \mathbb{Z}, n \neq -1\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(\sqrt{x}\) | \(x > 0\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln(x)\) | \(x > 0\) |
Primitives de fonctions composées
Le programme attend que vous sachiez reconnaître la dérivée d’une fonction composée.
Forme \(u' \cdot u^n\)
Une primitive est \(\frac{u^{n+1}}{n+1}\).
Exemple : Soit \(f(x) = (2x+1)(x^2+x+3)^4\).
En posant \(u(x) = x^2+x+3\), on a \(u'(x) = 2x+1\). La fonction est de la forme \(u' \cdot u^4\).
Une primitive est \(F(x) = \frac{1}{5}(x^2+x+3)^5\).
Forme \(u' e^u\)
Une primitive est \(e^u\).
Exemple : Soit \(f(x) = 3e^{3x-2}\).
Avec \(u(x) = 3x-2\), on a \(u'(x) = 3\). La forme est exactement \(u' e^u\).
Une primitive est \(F(x) = e^{3x-2}\).
Forme \(\frac{u'}{u}\)
Une primitive est \(\ln(u)\) (pour \(u > 0\)).
Exemple : Soit \(f(x) = \frac{2x}{x^2+1}\).
Avec \(u(x) = x^2+1\), on a \(u'(x) = 2x\). La forme est exactement \(\frac{u'}{u}\). Comme \(x^2+1 > 0\) pour tout réel \(x\).
Une primitive est \(F(x) = \ln(x^2+1)\).
Il arrive souvent que la dérivée \(u'(x)\) ne soit pas parfaitement présente. Si le décalage n’est qu’un nombre multiplicatif, on peut l’ajuster.
Exemple 1 (Exponentielle) : \(f(x) = e^{5x+2}\).
Ici \(u(x) = 5x+2\), donc \(u'(x) = \mathbf{5}\).
On écrit : \(f(x) = \mathbf{\frac{1}{5}} \times \mathbf{5}e^{5x+2}\).
Une primitive est \(F(x) = \frac{1}{5}e^{5x+2} + C\).
Exemple 2 (Logarithme) : \(f(x) = \frac{1}{3x+4}\).
Ici \(u(x) = 3x+4\), donc \(u'(x) = \mathbf{3}\).
On écrit : \(f(x) = \mathbf{\frac{1}{3}} \times \frac{\mathbf{3}}{3x+4}\).
Une primitive est \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(3x+4) + C\).
Pourquoi chercher des primitives ? 🎯
La recherche de primitives est au cœur de deux piliers du programme :
- Les équations différentielles : Résoudre \(y' = f\) revient à chercher les primitives de \(f\). C’est crucial pour les modèles de croissance de population ou de refroidissement thermique.
- Le calcul d’aires : Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a;b]\), alors l’intégrale (qui représente l’aire sous la courbe pour une fonction positive) se calcule par : \[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\]